CHƯƠNG I
ĐA THỨC NHIỀU BIẾN
§1. ĐƠN THỨC NHIỀU BIẾN.
ĐA THỨC NHIỀU BIẾN

§1. ĐƠN THỨC NHIỀU BIẾN.
ĐA THỨC NHIỀU BIẾN
I

NỘI
DUNG

ĐƠN THỨC NHIỀU BIẾN
II

III

ĐA THỨC NHIỀU BIẾN
LUYỆN TẬP

KHỞI ĐỘNG
Trong giờ Mỹ thuật bạn Hạnh dán lên trang
vở hai hình vuông và một hình tam giác
vuông có độ dài hai cạnh góc vuông là x(cm),
y(cm) như hình 1. Tổng diện tích của hai
hình vuông và hình tam giác vuông là :

Biểu thức đại số
còn được gọi là gì?

I.ĐƠN THỨC NHIỀU BIẾN
1.Khái niệm:
a)Viết biểu thức biểu thị:
-Diện tích của hình vuông có độ dài cạnh là x (cm)

x2 (cm2)
-Diện tích của hình chữ nhật có độ dài hai cạnh lần lượt là 2x(cm) và 3y(cm)
2x.3y= 6xy (cm2)
-Thể tích của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước lần lượt là x(cm), 2y(cm), 3z(cm)
x.2y.3z= 6xyz (cm3)
b)Cho biết mỗi biểu thức trên gồm những số, biến và
phép tính nào?

I.ĐƠN THỨC NHIỀU BIẾN
1.Khái niệm:

Đơn thức nhiều biến (hay là đơn thức) là biểu thức đại số chỉ
gồm một số, hoặc 1 biến, hoặc một tích giữa các số và các biến.

VÍ DỤ 1
Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đơn thức ?
1 ; x ; y ; 2x +y ; x2y ; -3xy2z3 ; 1 x2y2xz
2
4
GIẢI

Trong các biểu thức, đơn thức là: 1 ; x ; y ; x2y ; -3xy2z3 ; 1x2y2xz
2
4
(2x +y không là đơn thức vì có phép cộng)

LUYỆN TẬP 1

Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đơn thức ?
5y ; y + 3z ; 1 x3y2x2z
2
GIẢI

Trong các biểu thức, đơn thức là: 5y ; 1 x3y2x2z
2
y + 3z không là đơn thức (Vì có phép cộng)

2. Đơn thức thu gọn
Xét đơn thức: 2x3y4
Trong đơn thức này, các biến x, y được viết bao nhiêu lần dưới dạng
một lũy thừa với số mũ nguyên dương?
Ta nói đơn thức 2x3y4 là đơn thức thu gọn.
Đơn thức thu gọn là đơn thức chỉ gồm tích của một số với các biến, mà
2 : hệ số
mỗi biến đã được nâng lên lũy thừa
với số mũ nguyên dương và chỉ được
3 4
x y : là phần biến
viết một lần.
Số nói trên gọi là hệ số,phần còn lại gọi là phần biến của đơn thức thu gọn.

VÍ DỤ 2
a) Trong các đơn thức sau, đơn thức nào là đơn thức thu gọn?
√ 𝟐 ; x ; y ; x2y3 ; -5x2y3z4 ; 1 x2y2xz3
4
b) Thu gọn đơn thức 2x3y5z5z2
GIẢI
a) Các đơn thức là ; x ; y ; x2y3 ; -5x2y3z4 đơn thức thu gọn
Còn x2y2xz3 không phải đơn thức thu gọn
b) 2x3y5z5z2

= 2x3y5z7

Thu gọn mỗi đơn thức sau:
y3y2z
=y5z

xy2x3z
x4y2z

CHÚ Ý:
· Ta cũng coi một số là đơn thức thu gọn.
· Từ nay, khi nói đến đơn thức, nếu không nói thêm,
ta hiểu đó là đơn thức thu gọn.

3. Đơn thức đồng dạng
Cho hai đơn thức: 2x3y4 và -3x3y4
Hệ số
a) Nêu hệ số của mỗi đơn
thức trên Phần biến
3 4
y phần biến của
x3y4
2 hai đơn thức trên.
b) So2x
sánh
-3x3y4
-3
x3y4
Hai đơn thức: 2x3y4 và -3x3y4 có hệ số khác 0 và
Hai đơn
đồng dạng là hai đơn thức có:
có cùng
phầnthức
biến.
Ta nói
đơn thức
đó là đồng dạng.
-hệ hai
số khác
0
-và có cùng phần biến

Ví dụ 3

Chỉ ra các đơn thức đồng dạng trong mỗi trường hợp sau:

a) –x2y3z4 và - x2y3z4

b) 0,5xy và 0,5x y
2

2

c) x3y5; - 6x3y5 và x3y5

GIẢI:
a) –x2y3z4 và - x2y3z4 Là hai đơn thức đồng dạng vì: có hệ số khác 0 và
cùng phần biến
b) 0,5xy2 và 0,5x2y không là hai đơn thức đồng dạng vì không cùng phần
biến
c) x3y5; - 6x3y5 và x3y5 Là hai đơn thức đồng dạng vì: có hệ số khác 0 và
cùng phần biến

Chỉ ra các đơn thức
đồng dạng trong mỗi
trường hợp sau:
a) x2y4; -3x2y4; x2y4

b) -x2y2z2 và -2x2y2z3

GIẢI
a) x2y4; -3x2y4; x2y4
Là các đơn thức đồng dạng
Vì hệ số khác 0
cùng phần biến
b) -x2y2z2 và -2x2y2z3
Không là đơn thức đồng dạng
Vì không cùng phần biến

4.Cộng, trừ đơn thức đồng dạng
a) Tính tổng: 5x3 +
8x3Nêu quy tắc cộng (hay trừ) hai đơn thức có cùng số
b)
mũ của biến x:
GIẢI: axk +bxk; axk – bxk (k N*)
3
a) 5x3 + = (5+8)x=
13x3
3
8x
b) axk + =
axk - bx
=k (a - b)xk (k N*)
(a+b)xk
bxk
Vậy đối với đơn thức có cùng số mũ của biến, đối với
đơn thức (nhiều biến) đồng dạng ta làm như thế nào?
Để cộng (hay trừ) các đơn thức đồng dạng, ta cộng (hay trừ) các hệ số
với nhau và giữ nguyên phần biến.

Ví dụ 4

Thực hiện phép tính:

a) 3x2y3 +4x2y3

b) 4x3y2 - 7x3y2

a) 3x2y3 +4x2y3
= (3 +4)x2y3
= 7x2y3

GIẢI:
b) 4x3y2 - 7x3y2
= (4 – 7)x3y2
= - 3x3y2

c) 8xy3 + xy3
c) 8xy3 + xy3
= (8 + 1)xy3
=

9xy3

Thực hiện phép tính:
a) 4x4y6 + 2x4y6
GIẢI:

b) 3x3y5 - 5x3y5
GIẢI:

a) 4x4y6 + 2x4y6

b) 3x3y5 - 5x3y5

= (4 + 2) x4y6
= 6x4y6

= (3 – 5)x3y5
= - 2x3y5

II
ĐA THỨC NHIỀU BIẾN

1.Định nghĩa
Cho biểu thức x2 +2xy +y2
a) Biểu thức trên có bao
nhiêu biến?
2 biến.
b) Mỗi số hạng xuất hiện trong biểu thức có dạng như
thế nào?
đơn thức.
Đa thức nhiều biến (hay đa thức) là một tổng của những đơn thức
Chẳng hạn: P = 3xy +1 là đa thức của 2 biến x , y
Q = x3 +y3 +z3 - 3xy là đa thức của 3 biến x, y, z
Chú ý

Mỗi đơn thức được coi là một đa thức

Ví dụ 5
Trong những biểu thức sau, biểu thức nào là đa thức?
2x + y +x2y

là đa thức

- 3xy2z3 + x2y2z

là đa thức

𝒙+ 𝒚
𝒙 −𝒚

Không phải đa thức

Trong những biểu thức sau, biểu thức nào là đa thức?
là đa thức

y +3z + y2z
𝟐

𝒙 +𝒚
𝒙 +𝒚

𝟐

Không phải đa thức

2.Đa thức thu gọn
Cho đa thức: P= x3 +2x2y +x2y +3xy2 + y3
+ thức
(2
+1)x
+3xy
+ đơn
ycho trong
Thực hiện phép cộng P=
các xđơn
đồng
dạng
Trong
đaythức
Psao
có
thức đa thức P
không còn hai đơn thức
2 dạng.
đồng2dạng
P=nào
x3 +đồng
3xnào
y +3xy
+ y3 với nhau?
3

2

2

3

Sau khi thu gọn đa thức P có đơn thức
Thu gọn đa thức
nhiều
là với
làmnhau
cho trong
đa thức đó không
nào
đồngbiến
dạng
không?
còn đơn thức nào đồng dạng.

Ví dụ 6
Thu gọn đa thức: Q= x2 + y2+z2 + xy +xy +yz +yz + 2xz
Giải
Ta có: Q= x2 + y2+z2 + xy +xy +yz +yz + 2xz
Q= x2 + y2+z2 + (xy +xy) + (yz +yz) + 2xz
Q= x2 + y2+z2 + 2xy + 2yz + 2xz

Thu gọn đa thức:
R = x3 – 2x2y – x2y + 3xy2 – y3
Giải:
R = x3 – 2x2y – x2y + 3xy2 – y3
R = x3 + (- 2 – 1)x2y + 3xy2 – y3
R = x3 - 3x2y + 3xy2 – y3

3. Giá trị của đa thức
Cho đa thức: P= x2 – y2
Thay x= 1; y=1 vào đa thức P ta có:
P= 12 – 12
Đa thức
được
TínhP giá
trịxác
củađịnh
P tại
Đa thức P được xác định
P= 0
bằng biểu
nào?
x =thức
1; y=
1
bằng biểu thức P= x2 - y2
Vậy giá trị của P tại x =1; y=1 là 0
Nhận xét

Để tính giá trị của một đa thức tại
những giá trị cho trước của biến, ta
thay những giá trị cho trước đó vào
biểu thức xác định đa thức rồi thực
hiện phép tính.

Ví dụ 7

Tính giá trị của biểu thức:
P= x2 - 2xy + y2 tại x =1 ; y= 1
Giải
Giá trị của đa thức P tại x = 1; y=1 là:
P= 12 – 2.1.1 + 12
P= 1- 2 +1
P= 0
KL: Giá trị của đa thức P tại x = 1; y=1 là: 0

Tính giá trị của đa thức:
Q= x3 - 3x2y + 3xy2 – y3 tại x =2 ; y= 1
Giải
Giá trị của đa thức Q tại x = 2; y=1 là:
Q= 23 – 3.22.1 + 3.2.12 – 13
Q= 8 – 12 + 6 – 1
Q=1
KL: Giá trị của đa thức Q tại x = 2; y=1 là: 1

Bài 1:
a) Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đơn thức?
xy2z3 ; 3 -2x3y2z ; - x4yxz2 ; x2(y3-z3)
b) Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đa thức?
2- x+y ; - 5x2yz3 + xy2z x +1 ; ; + 2y – 3z
2 3
4
2
xy
z
;
x
yxz
a) Đơn thức là:

Giải

2
3
2
2x+y
;
5x
yz
+
xy
z x +1
b) Đa thức là:

Bài 2
Thu gọn mỗi đơn thức sau:
a) - x2yxy3
Giải
a) - x2yxy3
= - x3y4

b)
0,5x2yzxy3
b)
3
0,5x2yzxy
= 0,5x3y4z

Bài 3
Chỉ ra các đơn thức đồng dạng trong mỗi trường hợp sau:
a)x3y5; - x3y5 và x3y5
b) x2y3 và
2 7
x
y
Giải
a) x3y5; - x3y5 và x3y5 là đơn thức đồng dạng
vì có hệ số khác 0 và cùng phần biến
b) x2y3 và x2y7 không là đơn thức đồng dạng
vì phần biến khác nhau

Bài 4
Thực hiện phép tính:
a) 9x3y6 + 4x3y6 +7x3y6
Giải
a) 9x3y6 + 4x3y6 +7x3y6
= (9+ 4 +7)x3y6
=
20x3y6

b) 9x5y6 – 14x5y6
+5x5y6
b) 9x5y6 – 14x5y6
5 6
+5x
= (9 y– 14 +5)x5y6
=
0

Bài 5

Thu gọn mỗi đa thức sau:
a) A=13x2y + 4 + 8xy 2
6x
y - 9 2y – 40,6xy2 +3,6xy2 b) B=4,4x
1,4x2y -26
Giải
a) A= 13x2y + 4 + 8xy 6x2y
9 2y -6x2y + 8xy + 4=- 13x
=
7x2y
+ 8xy
9
5 4,4x2y – 40,6xy2 +3,6xy2 b) B=
1,4x
-262y -1,4x2y – 40,6xy2 +3,6xy2 =2y4,4x
=
3x2y
– 37xy2
26

Bài 6

Tính giá trị của mỗi đa thức sau:
a) P= x3y -14y3 -6xy2 +2 tại x= -1;y=0,5
b) Q= 15x2y -5xy2 +7xy -21 tại x= 0,2 ; y = -1,2
Giải
a)Thay x= -1; y= 0,5 vào đa thức P
P= (-1)3.0,5 -14.0,53 -6.(-1).
2
(0,5)
P= - +2
+ +2
P=
KL: Giá trị của biểu thức P khi x= -1; y= 0,5 là :

Bài 6

Tính giá trị của mỗi đa thức sau:
a) P= x3y -14y3 -6xy2 +2 tại x= -1;y=0,5
b) Q= 15x2y -5xy2 +7xy -21 tại x= 0,2 ; y = -1,2
Giải
b) Thay x= 0,2; y= -1,2 vào đa thức Q
Q= 15.0,22. (-1,2) – 5. 0,2.(-1,2)2 +7.0,2.(-1,2) 21
Q=
+
- 21
Q=
KL: Giá trị của biểu thức Q khi x= 0,2; y= -1,2 là :

BẬC CỦA ĐA THỨC NHIỀU BIẾN
1. Bậc của đơn thức
Trong đơn thức 2xy4z5 có :
-biến x có số mũ là 1
Tổng số mũ của tất cả các biến có trong
-biến y có số mũ 4
đơn thức trên là :1+4+5 =10.
-biến z có số mũ 5
=>Ta nói bậc của đơn thức đó là 10
Ta có định nghĩa sau: Bậc của đơn thức (thu gọn) có hệ số khác 0 là
tổng số mũ của tất cả các biến có trong đơn thức đó.
Ta quy ước: Số thực khác 0 là đơn thức bậc không.

BẬC CỦA ĐA THỨC NHIỀU BIẾN
2. Bậc của đa thức
Cho đa thức (thu gọn) :P= 2x5 +3x2y2 +3xy2 + 2y3.
Nhận thấy:Bậc cao nhất của các đơn thức trong dạng thu gọn của P là 5.
Ta nói bậc của đa thức P là 5.
Ta có định nghĩa sau: Bậc của đa thức là bậc cao nhất của các đơn thức
trong dạng thu gọn của đa thức đó.
Chú ý:
-Khi tìm bậc của một đa thức, trước hết ta phải thu gọn đa thức đó.
-Ta quy ước:Số thực khác 0 là đa thức bậc không. Số 0 là đa thức không
có bậc.