Theo định lý về sự xác định đường tròn, qua
ba điểm không thẳng hàng ta xác định được duy
nhất một đường tròn, nghĩa là ta luôn vẽ được một
đường tròn đi qua 3 đỉnh của tam giác. Hay nói
khác đi một tam giác bất kỳ đều nội tiếp được một
đường tròn.
A

F

O
B

E
C

N

O

G

M

P
O

Đ
ặt
v
ấ
n
đ
ề

Để trả lời câu hỏi đó
chúng ta cùng tìm hiểu
trong bài học ngày hôm
nay.

Có phải bất kì tứ
giác nào cũng nội
tiếp được đường
tròn hay không ?

B
A

O

C
D

Bài 7 : TỨ GIÁC NỘI TIẾP – LUYỆN TẬP
1). Khái niệm tứ giác nội tiếp :
*Các
Định
nghĩa
: Một
bốn
đỉnh
trêntròn
một?
tứ giác
trong
hìnhtứcógiác
mấycó
đỉnh
nằm
trênnằm
đường
đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt
là tứ giác nội tiếp)
P

B

G
H

A

N

O

C
D

Tứ giác
ABCD
nộiC,tiếp
Bốn đỉnh
A, B,
D (O)
nằm trên (O)

Q

O'

F
M

I
E

giác
MNPQ, EFGH
Ba đỉnh E, F, G nằm
Ba đỉnh Tứ
M, N,
P nằm
trên (I). Đỉnh H không
trên (O'). không
Đỉnh Q là
không
tứ giác nội nằm
tiếp trên (I).
nằm trên (O')

Hãy chỉ ra các tứ giác nội tiếp trong hình sau :
A
B
E
O

M
C

D

Các tứ giác nội tiếp là : ABCD, ACDE, ABDE.

DỰ ĐOÁN VỀ TỔNG SỐ ĐO HAI GÓC
ĐỐI DIỆN CỦA TỨ GIÁC NỘI TIẾP

H

B

N

A

O

O
C

D

ˆ C
ˆ 180 0
A

G

P

O
Q

M

E
F

ˆ  1800
ˆ Q
N

ˆ  Eˆ  180 0
G

2). Định lý :

Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai
góc đối nhau bằng

Áp dụng: Biết ABCD là tứ giác nội tiếp. Hãy hoàn
thành các ô trống trong bảng sau:
Trường hợp

1)

2)

3)

4)

A

300

750

600

y

B

700

1050

x

550

C

150

1050

1200

1800-y

D

1100

75

180 -x

1250

Góc

0

0

(00
0

3). Định lý đảo:

Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối nhau bằng 1800
thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.
Áp dụng: Cho tam giác ABC với H là trực tâm. Tứ giác
nào nội tiếp được đường tròn. Vì sao ?

A

L H o2
B

o1

+Tứ giác BLHK nội tiếp O1 

M

ˆ 900  900 1800
ˆ K
vì L

+Tứ giác ALHM nội tiếp O 2 

o3
K

ˆ M
ˆ 90 0  900 1800
vì L

C

+Tứ giác CKHM nội tiếp O 3 

ˆ 900  900 1800
ˆ M
vì K

A
L
N

B

M
H

K

J

I

C

Tứ giác BCML nội tiếp được đường tròn đường kính BC.
Tứ giác ACKL nội tiếp được đường tròn đường kính AC.
Tứ giác ABKM nội tiếp được đường tròn đường kính AB.

 Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp :
B

1. Tứ giác có tổng hai góc đối
nhau bằng 180 0 ( Định lý đảo)

B

2. Tứ giác có góc ngoài tại một
A
đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối
của đỉnh đó.( Hệ quả)

C

D

O
C

D

3. Tứ giác có bốn đỉnh
cách đều một điểm cố
định.( Định nghĩa)
4. Tứ giác có hai đỉnh kề
nhau (liên tiếp) cùng nhìn
cạnh chứa hai đỉnh còn lại
dưới một góc ∝ không đổi

O

A

B
A
O

B
A

D

a
a

D

O
C

C

A

Bµi tËp 58 (SGK/90)
GT ®Òu , DB = DC ;
a ) Tø gi¸c ABDC lµ tø gi¸c néi tiÕp
KL b) T×m t©m đường trßn ®i qua
4 ®iÓm A, B, D, C.
B

1
2

/

/
D

Tam gi¸c ®Òu cã
tÝnh chÊt g× ?
Dù ®o¸n chøng minh tø gi¸c ABDC néi tiÕp
b»ng c¸ch nµo ?

2

1

C

Bµi tËp 58 Trang 90 SGK
GT ®Òu , DB = DC ;

A

a ) Tø gi¸c ABDC lµ tø gi¸c néi tiÕp
KL b) T×m t©m đường trßn ®i qua
4 ®iÓm A, B, D, C.
Chøng minh :

a) Tam gi¸c ABC ®Òu => (1)

BDC c©n t¹i D ( do DB = DC ) =>
(2)

O
B

1
2

/

/

2

1

D

Tõ (1) vµ (2) =>
Tứ giác ABDC có nên tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp

b) Vì nên tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn đường kính AD.

Vậy tâm O cña đường trßn ®i qua 4 ®iÓm A, B, D, C lµ trung
®iÓm ®o¹n th¼ng AD

C

Bµi tËp 59 (SGK/90)
GT
KL

H×nh b×nh hµnh ABCD, ®­ưêng trßn
®i qua 3 ®iÓm A, B, C c¾t đường th¼ng
CD t¹i P
AP = AD

A

B

1

O

Chøng minh :
1

D

NÕu AP = AD th× tam
gi¸c
ADP
cã g×
®Æc minh tam gi¸c ADP
Dù
®o¸n
c¸ch
chøng
biÖt trong
?
c©n
bµi nµy ?

2

P

C

Bµi tËp 59 Trang 90 SGK

GT

H×nh b×nh hµnh ABCD , đường trßn
®i qua 3 ®iÓm A ; B ; C c¾t đường
th¼ng CD t¹i P
AP = AD

KL

Chøng minh :

Có

(ABCP nội tiếp)
( Hai gãc kÒ bï )

=>
Mà (ABCD là hình bình hành)
N => ∆ ADP c©n t¹i A => AD = AP .
Hái thªm:
Tø gi¸c ABCP
lµ h×nh g× ?

Hình thang ABCP có
Mà

(so le trong)

(chứng minh trên)

Nên . Vậy ABCP là hình thang cân

E

Bµi tËp 56 Trang 89 SGK: Cho h×nh vÏ
T×m sè ®o c¸c gãc cña tø gi¸c ABCD ?

B

40

Gi¶i :

Gäi = x
Theo tÝnh chÊt gãc ngoµi cña tam gi¸c A
:

O

}

0
^
0
𝐴𝐵𝐶= 40 + 𝑥 ⇒ ^
^
𝐴𝐵𝐶
+
𝐴𝐷𝐶
=60
+2𝑥
0
^
𝐴𝐷𝐶= 20 + 𝑥

M

=> 600 + 2x = 1800 => 2x
= 120
VËy
x = 0? => x = 600
T×mtrong
mèitø liªn
hÖ gi÷a
VËy
gi¸c ABCD
cã : víi nhau vµ víi

xC
x

D

x?

TÝnh tiÕp c¸c gãc cña tø gi¸c ABCD ?

20

F

1. Bài 57(89 – SGK)
Trong các hình sau, hình nào nội tiếp được trong một đường tròn :
Hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông, hình thang, hình thang
vuông, hình thang cân ? Vì sao?

Bài làm:
- Hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân có tổng
hai góc đối diện bằng 1800 nên nội tiếp đường tròn.
- Hình bình hành, hình thang, hình thang vuông không
nội tiếp đường tròn.

06/06/2024

16

Bản đồ tư duy tứ giác nội tiếp

Hướng dẫn về nhà
 Học và hiểu định nghĩa tứ giác nội tiếp, định lý, định lý
đảo.
 Nắm được các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp.
 Làm bài tập 53, 54, 55, 59,60 SGK/89
.Đọc trước bài 8 và xem trước vi deo dạy trên truyền hình
của bài 8, là ? Bài 8


5. Bài tập bổ sung: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt
nhau tại E thỏa mãn: AE.EC = BE.ED.

1

Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp.
Bài làm:

XÐt AEB vµ DEC cã :
AE BE

(v× AE.EC = BE.ED)
ED EC

 BAE
 A vµ



AEB

S

AEB=DEC (v× 2 gãc ®èi ®Ønh)
Tõ (1) vµ (2)

D
E 1
1 2
O

(1)

B

C

(2)

DEC (c.g.c)

= EDC hay BAC = BDC = 

D thuéc cïng mét cung chøa gãc  dùng trªn ®o¹n BC

A, B, C, D thuéc cïng mét ®­êng trßn (O)
 Tø gi¸c ABCD néi tiÕp.


06/06/2024

A

19